نگاهی دیگر به ریاضیات

نگاهی دیگر به ریاضیات

نگاهی نوین به مسائل ریاضی
نگاهی دیگر به ریاضیات

نگاهی دیگر به ریاضیات

نگاهی نوین به مسائل ریاضی

توابع غربال گر اعداد نسبت به بخش پذیری و کاربرد آنها در شناسایی اعداد اول

توابع غربال گر اعداد نسبت به بخش پذیری و کاربرد آنها در شناسایی اعداد اول

(توابع تولید کننده اعدادی با یک نوع مضرب و کاربردهای آن)


در تجزیه اعدادی که دارای یکانی برابر (9) هستند داریم :

factor (1000009)    ====>    293  *  3413

factor (1000019)    ====>    47  *  21277

factor (1000029)    ====>    3  *  31  *  10753

factor (1000039)    ====>    1000039

factor (1000049)    ====>    353  *  2833

factor (1000059)    ====>    3  *  17  *  19609

factor (1000069)    ====>    7  *  142867

factor (1000079)    ====>    281  *  3559

factor (1000089)    ====>    3  *  3  *  111121

factor (1000099)    ====>    1000099

 

نکته : اعدادی که نتیجه تجزیه آنها خود عدد اولیه می باشد اعدادی اول هستند و همچنین لازم به ذکر است که در این مقاله علامت (*) به معنی ضرب و علامت (^) به معنی توان می باشد. و همچنین در این مقاله گاهی اوقات به جای کلمه توابع از کلمه معادلات استفاده شده است که بهتر است از همان کلمه توابع استفاده شود.

همان طور که در مثال های بالا می بینید همواره اعدادی با یکان (9) یا اعدادی اول بوده و یا در صورت تجزیه شدن هم ممکن است که حداقل یکی از اعداد با یکان (3) مانند ( 3 و 13 و 23 و ...) و یا یکان (7) مانند (7 و 17 و 37 و ...) و یا یکان (1) مانند ( 11 و 31 و 41 و ...) و یا یکان (9) مانند ( 19 و 29 و 59 و ...) به عنوان ریشه اعداد در نتیجه حاصل از تجزیه آنها وجود داشته باشند.

حالا سئوال اینجاست که آیا یک و یا چند معادله جبری ساده وجود دارد که به کمک آنها بتوان اعدادی با یکان (9) را تولید کرد که آن اعداد تولید شده یا اعدادی اول بوده و یا در صورت تجزیه شدن هم فقط به اعدادی با یکان (1) مانند ( 11 و 31 و 41 و ...) و اعدادی با یکان (9) مانند ( 19 و 29 و 59 و ...) به عنوان ریشه اعداد تجزیه شوند؟ و یا به عبارتی همواره اعدادی با یکان (3) مانند ( 3 و 13 و 23 و ...) و اعدادی با یکان (7) مانند ( 7 و 17 و 37 و ...) به عنوان ریشه هیچ کدام از اعداد خروجی این معادلات وجود نداشته باشد و به نوعی این معادلات بتوانند به صورت یک مجموعه از معادلات غربال گر عددی رفتار کنند؟

جواب این سئوال به احتمال بسیار زیاد آری است و باید گفت که به تازگی توانسته ام توسط توسعه یک نوع روش نوین جبری در ریاضیات به نام روش تفکیک یکان عددی (برای آشنایی بیشتر با این روش به مقاله تحلیل ساختار عددی قضیه آخر فرما مراجعه شود) مجموعه ای بسیار بزرگ و احتمالا نامتناهی از معادلاتی تقریبا یک شکل و با یک قالب ساختاری را پیدا کنم که با توجه به پیش بینی هایی که این روش مبنی بر قطعیت وجود چنین معادلاتی در ساختار اعداد انجام می دهد و نیز وجود چندین نامعادله دائمی می توان انتظار داشت که این معادلات به ازای دامنه ورودی صفر تا بی نهایت همواره خروجی هایی با یکان (9) را تولید می کنند که یا اعدادی اول بوده و یا در صورت تجزیه شدن هم فقط می توانند به اعدادی با یکان (1) مانند ( 11 و 31 و 41 و ...) و اعدادی با یکان (9) مانند ( 19 و 29 و 59 و ...) به عنوان ریشه اعداد تجزیه شوند که در مثال زیر نمونه ای از خروجی های یکی از این معادلات را مشاهده می کنید که همگی آنها از شرایط ذکر شده تبعیت می کنند.


X  =  100    ====>     factor (1016059)    ====>    11  *  92369

X  =  101    ====>     factor (1036319)    ====>    1036319

X  =  102    ====>     factor (1056779)    ====>    1056779

X  =  103    ====>     factor (1077439)    ====>    11  *  41  *  2389

X  =  104    ====>     factor (1098299)    ====>    31  *  71  *  499

X  =  105    ====>     factor (1119359)    ====>    1119359

X  =  106    ====>     factor (1140619)    ====>    1140619

X  =  107    ====>     factor (1162079)    ====>    1162079

X  =  108    ====>     factor (1183739)    ====>    1183739

X  =  109    ====>     factor (1205599)    ====>    379  *  3181

 

همه مثال های بالا خروجی معادله (100*X^2)+(160*X)+(59) می باشند که این معادله به ازای تمام ورودی هایی از صفر تا ده هزار و نیز به صورت تصادفی و آماری با نمونه های بسیار فراوان و متنوع در بازه عددی ده هزار تا نه میلیون هم مورد آزمایش قرار گرفته است که تاکنون حتی یک مورد نقض هم در مورد خاصیت عدم بخش پذیری خروجی های آن به اعدادی با یکان (3) و یا اعدادی با یکان (7) مشاهده نشده است.

جهت آزمایش صحت این موضوع می توانید به نشانی های اینترنتی زیر مراجعه نمایید که لینک اول یک ماشین حساب اعداد صحیح بزرگ را نمایش می دهد که برای آزمایش باید از گزینه (Mod) آن استفاده نمایید و هرگز از گزینه تقسیم آن استفاده نکنید چون این ماشین حساب قسمت اعشاری تولید شده در تقسیم را نشان نمی دهد و لینک دوم هم مربوط به فاکتورگیری اعدادی تا 16 رقم می باشد که برای این کار باید عدد مورد نظر را بین دو پرانتز موجود در جلوی کلمه (factor) نوشته و سپس دکمه (Run) را کلیک نموده و نتیجه تجزیه عدد را مشاهده نمایید و لازم به ذکر است اعدادی که بین دو پرانتز نوشته می شوند نباید بیش از 16 رقم داشته باشند و بهتر است که اعداد حداکثر 15 رقم داشته باشند زیرا در غیر این صورت نرم افزار آن دچار خطا شده و نتایج اشتباهی را نشان می دهد مثلا وجود مضرب عدد (2) در جواب تجزیه اعداد فرد نشان دهنده خطا و انتخاب عدد بزرگ تر از ظرفیت نرم افزار است بنابراین برای اعداد 16 رقمی و بیشتر می توانید از همان لینک ماشین حساب و یا نرم افزارهای دیگری استفاده نمایید.

به منظور آسان تر شدن بررسی آماری این موضوع و خلاص شدن از انجام جمع و ضرب های متوالی می توانید توسط لینک سوم نرم افزاری ترکیبی تک منظوره که فقط جهت بررسی سریع تر و مطمئن تر اعداد خروجی معادله (100*X^2)+(160*X)+(59) تهیه کرده ام را دانلود نموده و به راحتی با تعیین بازه عددی مورد آزمایش از حداقل یک تا حداکثر نه میلیون و کلیک بر روی دکمه (شروع) و سپس کلیک بر روی دکمه (باز کردن) همان کار فاکتورگیری را به صورت دسته ای و بدون نیاز به هرگونه محاسبه و یا وارد کردن عددی و تنها با کلیک بر روی دکمه های (Run) موجود در صفحه باز شده انجام دهید و البته توصیه می شود که به منظور جلوگیری از زمان بری زیاد تولید اعداد توسط نرم افزار از بازه های عددی بیش از هزار تایی استفاده نشود.

1- لینک ماشین حساب اعداد صحیح بزرگ :

http://www.javascripter.net/math/calculators/100digitbigintcalculator.htm

2- لینک ماشین حساب تجزیه اعداد تا 16 رقم :

http://www.javascripter.net/math/primes/factorization.htm

3- لینک دانلود نرم افزار بررسی سریع و آماری تجزیه اعداد دربازه ورودی یک تا نه میلیون :

http://www.nerset.com/2/azmayeshgar/azmayeshgar.zip

همان طور که قبلا اشاره شد معادله (100*X^2)+(160*X)+(59) تنها یک نمونه از هزاران و شاید بی نهایت معادله ای است که دارای چنین ویژگی ای می باشند و به عنوان مثال تعداد دیگری از معادلاتی که به ازای ورودی صفر تا هزار و دویست صحت درستی آنها آزمایش شده و ممکن است که آنها هم دارای این ویژگی باشند عبارتند از :


( 100 * X ^ 2 ) + ( 90 * X ) + ( 19 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 110 * X ) + ( 29 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 140 * X ) + ( 29 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 160 * X ) + ( 59 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 190 * X ) + ( 59 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 190 * X ) + ( 89 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 210 * X ) + ( 79 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 210 * X ) + ( 109 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 240 * X ) + ( 19 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 240 * X ) + ( 139 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 260 * X ) + ( 89 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 260 * X ) + ( 149 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 290 * X ) + ( 59 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 290 * X ) + ( 179 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 290 * X ) + ( 209 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 310 * X ) + ( 89 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 310 * X ) + ( 209 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 310 * X ) + ( 239 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 340 * X ) + ( 209 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 340 * X ) + ( 269 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 360 * X ) + ( 199 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 360 * X ) + ( 319 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 390 * X ) + ( 229 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 390 * X ) + ( 349 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 390 * X ) + ( 379 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 410 * X ) + ( 269 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 410 * X ) + ( 389 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 410 * X ) + ( 419 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 440 * X ) + ( 359 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 440 * X ) + ( 479 )

 

همان طور که مشاهده می کنید این معادلات همگی دارای قالبی تقریبا یکسان بوده و همچنین می توان همگی آنها را در چهار دسته کلی از نظر ضریب مولفه میانی موجود در این معادلات که به صورت کلی برابر با 90X , 110X , 140X , 160X , 190X و ... می باشند دسته بندی نمود و چون این معادلات بخش بسیار بزرگی از اعداد دارای یکان (9) را به طور کامل نسبت به وجود اعدادی که به اعداد اولی با یکان (3) و یکان (7) بخش پذیر هستند را غربال می کند آنها را معادلات غربال گر (3*3) و (7*7) می نامیم.

مهمترین کاربرد این معادلات در این است که چنانچه با تغییراتی در ساختار آنها و یا پیدا کردن راهی جهت انتخاب ورودی ها به این معادلات بتوان خروجی هایی را تولید کرد که علاوه بر ویژگی های قبلی به جز خود عدد (1) به هیچ وجه به هیچ کدام از اعداد با یکان (1) مانند ( 11 و 21 و 31 و ...) و به خصوص اعدادی با یکان (1) که از حاصل ضرب اعدادی با یکان (9) در هم مانند ( 551 = 19 * 29) بوجود می آیند  , بخش پذیر نباشند در این صورت تمامی خروجی های آنها اعدادی اول خواهند بود که البته روش ایجاد تغییرات در ساختار معادلات برای رسیدن به چنین منظوری چندان مناسب نیست چون در صورتی که ساختار اولیه معادلات تغییر کند به احتمال زیاد خاصیت قبلی خود ( عدم بخش پذیری خروجی های معادله به اعدادی با یکان (3) مانند ( 3 و 13 و 23 و ...) و اعدادی با یکان (7) مانند ( 7 و 17 و 37 و ...) را از دست خواهند داد و بنابراین تنها راه باقیمانده روش انتخاب گزینشی اعداد ورودی به معادله می باشد و اگر چه می توان حالت های گوناگونی را برای این کار در نظر گرفت اما یکی از حالت های جالب برای این کار استفاده از مقادیر A به توان n است (A ^ n) که می تواند به عنوان ورودی معادلات در نظر گرفته شود مثلا اگر برای معادله (100*X^2)+(160*X)+(59) ورودی هایی به صورت مقدار 2 به توان n یعنی همان ( 2 ^ n ) را داشته باشیم که در آن متغیر n برابر با اعدادی نظیر 27 , 97 , 267 , 287 , 797 , 1287 , 2817 و ... باشد در این صورت تمامی خروجی های ایجاد شده عددی اول خواهند بود و با کمی دقت بر روی اعداد نامبرده و به خصوص اعداد 27 , 287 , 2817 خواهیم دید که یک نوع نظم ساختاری در بین این اعداد وجود دارد که با پی بردن به این نظم احتمالا می توان اعداد بعدی را هم بدون آزمایش اول بودن اعداد حاصل از معادله پیدا کرد ولی برای یافتن چنین نظمی نیاز به انجام بررسی های فراوان بوسیله شبکه ای از هزاران کامپیوتر قدرتمند برای داشتن توان محاسباتی بالا می باشد که در حال حاضر چنین امکانی برایم موجود نیست ولی احتمالا بتوان در آینده حتی بدون نیاز به چنین قدرت محاسباتی بالایی و فقط به کمک روابط جدید ریاضی این مشکل را هم حل نموده و بدین ترتیب به راحتی اعداد فوق بزرگ اول با یکان (9) را شناسایی نمود.

لازم به ذکر است که این نوع از معادلات غربال گر فقط محدود به ساختار اعدادی با یکان (9) نمی شوند بلکه در ساختار اعدادی با یکان (1) هم معادلاتی با همین قالب موجود بوده که همه خروجی های اینگونه از معادلات با وجود اینکه دارای یکان (1) می باشند و طبق قوانین جدول ضرب هم باید بخش بزرگی از اعدادی که دارای یکان (1) می باشند به اعدادی با یکان (3) و نیز اعدادی با یکان (7) بخش پذیر باشند ولی هیچکدام از اعداد خروجی این معادلات به اعدادی با یکان (3) و یا اعدادی با یکان (7) بخش پذیر نمی باشند و بنابراین اعداد خروجی این معادلات یا اعدادی اول بوده و یا فقط به اعدادی با یکان (1) و یا اعدادی با یکان (9) بخش پذیر می باشند و برخی از این معادلات که به ازای ورودی صفر تا هزار و دویست صحت درستی آنها آزمایش شده و ممکن است که آنها هم دارای این ویژگی باشند عبارتند از :


( 100 * X ^ 2 ) + ( 120 * X ) + ( 31 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 130 * X ) + ( 41 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 170 * X ) + ( 41 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 170 * X ) + ( 71 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 180 * X ) + ( 61 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 220 * X ) + ( 41 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 220 * X ) + ( 101 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 230 * X ) + ( 101 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 230 * X ) + ( 131 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 270 * X ) + ( 31 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 270 * X ) + ( 151 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 270 * X ) + ( 181 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 280 * X ) + ( 71 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 280 * X ) + ( 191 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 320 * X ) + ( 131 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 320 * X ) + ( 251 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 330 * X ) + ( 121 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 330 * X ) + ( 241 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 330 * X ) + ( 271 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 370 * X ) + ( 191 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 370 * X ) + ( 311 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 370 * X ) + ( 341 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 380 * X ) + ( 41 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 380 * X ) + ( 281 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 380 * X ) + ( 341 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 420 * X ) + ( 121 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 420 * X ) + ( 361 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 420 * X ) + ( 421 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 430 * X ) + ( 311 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 430 * X ) + ( 431 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 430 * X ) + ( 461 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 470 * X ) + ( 101 )

( 100 * X ^ 2 ) + ( 470 * X ) + ( 401 )


البته همان طور که مشاهده می کنید این معادلات هم , مانند معادلات غربال گر مربوط به اعدادی با یکان (9) , همگی دارای قالبی تقریبا یکسان بوده و همچنین می توان آنها را در چهار دسته کلی از نظر ضریب مولفه میانی موجود در این معادلات که به صورت کلی برابر با 120X , 130X , 170X , 180X , 220X و ... می باشند دسته بندی نمود و چون این معادلات بخش بسیار بزرگی از اعداد دارای یکان (1) را به طور کامل نسبت به وجود اعدادی که به اعداد اولی با یکان (3) و یکان (7) بخش پذیر هستند را غربال می کند آنها را معادلات غربال گر (7*3) می نامیم.

با بررسی معادلات غربال گر (3*3) و (7*7) که مربوط ساختار اعدادی با یکان (9) بوده و نیز معادلات غربال گر (7*3) که مربوط به ساختار اعدادی با یکان (1) می باشند در می یابیم چنانچه تعداد این گونه از معادلات نامتناهی باشد در نتیجه با افزایش اعداد در دو مجموعه بزرگ اعداد با یکان (1) و اعداد با یکان (9) , میزان پوشش دهی این معادلات در ساختار اعدادی با یکان (1) و یکان (9) هم افزایش می یابد به گونه ای که مثلا به ندرت می توان اعداد بسیار بزرگی با یکان (9) را یافت که با وجود عدم بخش پذیری به اعدادی با یکان (3) و اعدادی با یکان (7) , نتوان آنها را در خروجی یکی از معادلات غربال گر (3*3) و (7*7) مشاهده نمود و چون تمامی اعداد اول به طور کامل دارای ویژگی عدم بخش پذیری می باشند بنابراین اکثر اعداد اول بزرگ دارای یکان (1) و یکان (9) را می توان در خروجی های این معادلات مشاهده نمود که به دلیل وجود ضرایب کاملا متفاوت در مولفه میانی معادلات غربال گر مربوط به ساختار اعدادی با یکان (9) نسبت به معادلات غربال گر مربوط به ساختار اعدادی با یکان (1) می توان نتیجه گرفت که اعداد دوقلویی با یکان (1) و یکان (9) که اختلافشان برابر با دو واحد می باشد , تعدادشان به طور محسوسی کاهش می یابد ولی در عین حال خواهیم دید که اعداد دوقلویی که هر دو دارای یک نوع یکان , مثلا هر دو دارای یکان (9) یا هر دو دارای یکان (1) می باشند به صورت اعداد دوقلویی که اختلاف آنها اعدادی به صورت 30 , 60 , 90 , 120 و ... و به طور کل مضاربی از عدد (30) می باشند به صورت تقریبا مشخص و نامتناهی در ساختار اعداد وجود خواهند داشت و به عبارتی می توانیم به راحتی اعداد نیمه اول دوقلو با یکان (1) یا (9) را به طور حساب شده توسط این معادلات تولید نماییم که این مسئله یکی دیگر از کاربردهای معادلات غربال گر می باشد. بنابراین این معادلات می توانند بسیاری از قضایای مربوط به ساختار اعداد نظیر قضیه اعداد دوقلو و نمودار مارپیچی اولم و ... را به راحتی تحلیل و نمایش دهند که البته دلایل به وجود آمدن چنین ویژگی هایی در این معادلات به طور کامل قابل تحلیل و اثبات بوده و امیدوارم بتوانم در آینده این موضوع را که به صورت نمایشی بسیار زیبا و شگفت انگیز در مورد ساختار اعداد می باشد را در مقاله ای دیگر شرح دهم.


اطلاعات منابع مقاله :

نویسنده و نظریه پرداز مقاله : حسین اختر محققی

تاریخ انتشار مقاله : 1392/7/1

پست الکترونیکی : h_a_mohagheghi@yahoo.com